Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kỹ năng mà những em học ở tức thì chương 1 đại số lớp 9, phần bài xích tập về căn thức cũng hay xuyên lộ diện trong đề thi tuyển chọn sinh vào lớp 10 THPT.

Bạn đang xem: Phương pháp giải hệ phương trình chứa căn


Có nhiều dạng bài tập về căn thức như: rút gọn gàng biểu thức, tính cực hiếm của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,... Mặc dù nhiên, trong nội dung bài viết này chúng ta tập trung tò mò cách giải phương trình đựng dấu căn, qua đó vận dụng giải một số trong những bài tập về phương trình cất căn thức để rèn luyện tài năng giải toán.


» Đừng quăng quật lỡ: Cách giải phương trình cất ẩn ở mẫu cực hay

I. Kỹ năng và kiến thức cần nhớ lúc giải phương trình cất dấu căn

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*
 với e ≥ 0 là hằng số

i) ngôi trường hợp: 

*
 hoặc 
*
 thì:

+ cách 1: Tìm đk của x nhằm f(x) ≥ 0

+ cách 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn.

+ cách 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện

* lấy một ví dụ 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x?

a) b) 

c) d)

° Lời giải:

a) (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi ấy bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 4 thỏa đk nên pt gồm nghiệm x = 4.

b)  (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, lúc đó bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 5/4 thỏa điều kiện nên pt tất cả nghiệm x = 5/4.

c) (*)

- Điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; lúc đó ta tất cả (ở bày này ta rất có thể rút gọn gàng hệ số trước khi bình phương 2 vế):

 

*

 

*
 
*

- Ta thấy x = 50 thỏa đk nên pt gồm nghiệm x = 50.

d) (*)

- do (1 - x)2 ≥ 0 ∀x đề nghị pt xác minh với phần đa giá trị của x.

 

*

*

→ Vậy phương trình gồm 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* ví dụ như 2: Giải các phương trình sau:

a)  b) 

*

° Lời giải:

a)  (*)

- Điều kiện: 

*

- lúc ấy bình phương 2 vế ta được:

*
 
*

- Đối chiếu đk (x ≥ 3/2) ta thấy x = 50% không thỏa đk này, cần ta KHÔNG dấn nghiệm này. Tóm lại pt vô nghiệm.

ii) trường hợp:  (*) thì ta nên kiểm tra biểu thức f(x).

+) nếu như f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 tức là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

 

*
*

+) Nếu  không bao gồm dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện các bước sau:

- bước 1: Điều kiện f(x) ≥ 0

- cách 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức

- bước 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng cách phân tích thành nhân tử mang lại pt tích).

* ví dụ như 1: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x2 - 8x + 8 = 2(x2 - 4x + 4) = 2(x - 2)2 phải ta có:

 

*

 

*
 
*

* lấy ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x2 - 4x + 6 = x2 - 4x + 4 + 2 = (x - 2)2 + 2 không có dạng (Ax ± B)2 nên ta thực hiện như sau:

- Điều kiện: x2 - 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x - 2)2 + 2 ≥ 0 ∀x đề xuất biểu thức khẳng định với đông đảo giá trị của x.

- Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x - 2)2 + 2 = 11 ⇔ (x - 2)2 = 9 

*

- Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = 5.

2. Giải phương trình cất dấu căn dạng: 

*

* cách thức giải:

- bước 1: Viết điều kiện của phương trình: 

*

- bước 2: nhận dạng từng loại tương xứng với các cách giải sau:

 ¤ một số loại 1: trường hợp f(x) có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì khai căn đem đến phương trình trị tuyệt đối để giải.

 ¤ một số loại 2: nếu như f(x) = Ax ± B với g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ loại 3: trường hợp f(x) = Ax2 + Bx + C cùng g(x) = Ex ± D thì sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ một số loại 4: ví như f(x) = Ax2 + Bx + C cùng g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử đối chiếu f(x) với g(x) thành nhân tử, trường hợp chúng bác ái tử thông thường thì đặt nhân tử chung mang lại phương trình tích.

- cách 3: kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn điều khiếu nại không kế tiếp kết luận nghiệm của phương trình.

* lấy ví dụ 1: Giải phương trình sau:

° Lời giải:

- Ta có:  

 

*

 

*

- Vậy phương trình vô nghiệm

* ví dụ như 2: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta có: 

 

*

- Vậy phương trình tất cả vô số nghiệm x ≤ 3.

* lấy ví dụ như 3: Giải phương trình sau:

*
 

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

- Bình phương 2 vế ta được:

 2x - 3 = (x - 1)2 ⇔ 2x - 3 = x2 - 2x + 1

 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2.

Xem thêm: Danh Ca Tuấn Ngọc Nghẹn Ngào Nhớ Về Em Trai Quá Cố, Những Sao Việt Xấu Số Qua Đời Ở Hải Ngoại

- Đối chiếu với đk ta thấy x = 2 thỏa đk nên phương trình dìm nghiệm này.

- Phương trình bao gồm nghiệm x = 2.

* lấy một ví dụ 4: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x2 - 5x - 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 (và vế bắt buộc là dạng hàm bậc 1) phải để khử căn ta dùng phương pháp bình phương 2 vế.

- Điều kiện: 

*
 khi đó ta bình phương 2 vế được:

*

*

- kiểm tra x = -10 có thỏa mãn điều kiện không bằng cách thay cực hiếm này vào các biểu thức điều kiện thấy ko thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình đựng dấu căn dạng: 

*
 

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện các bước sau:

- cách 1: Nếu f(x) và h(x) gồm chứa căn thì yêu cầu có đk biểu thức trong căn ≥ 0.

- cách 2: Khử căn thức đưa phương trình về dạng pt trị tốt đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- cách 3: Xét dấu trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất (khử trị tốt đối) nhằm giải phương trình.

* lấy ví dụ 1: Giải phương trình: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- phương diện khác, ta thấy: 

*
 và 
*
 nên ta có:

 

*
 (**)

- Ta xét những trường hợp để phá lốt trị giỏi đối:

+) TH1: Nếu 

*
, ta có:

 

*

⇒ Phương trình có vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- dấn thấy: 

*

*

- Đến trên đây xét các trường vừa lòng giải tựa như ví dụ 1 sinh sống trên.

4. Bí quyết giải một số phương trình đựng căn khác.

i) phương thức đặt ẩn phụ nhằm giải phương trình cất dấu căn.

* ví dụ 1: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

 Đặt

*
 khi đó ta tất cả pt (*) trở thành:

 

*

- cả hai nghiệm t phần đông thỏa đk nên ta có:

 

*

 

*

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn những em vẫn học ngơi nghỉ nội dung bài bác chương sau).

* lấy ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

 Đặt 

*
, khi ấy pt(*) trở thành:

 

*

- Ta thấy pt(**) gồm dạng sinh sống mục 2) loại 3; với đk 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

 t2 + 5 = (5 - t)2 ⇔ t2 + 5 = t2 - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- với t = 2 thỏa đk 0≤ t ≤ 5 bắt buộc ta có:

*

→ Phương trình tất cả nghiệm x = 6.

* lấy ví dụ 3: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x2 - 2x - 3 ≥ 0. Khi ấy ta có:

*

 Đặt 

*
 khi đó pt(**) trở thành:

 

*

- Đối chiếu điều kiện thì t = -5 các loại và t = 2 nhận.

 Với t = 2 ⇒ x2 - 2x - 3 = 4 ⇔ x2 - 2x - 7 = 0 ⇔ (x2 - 2x + 1) - 8 = 0.

 

*

- bình chọn thấy 2 nghiệm x trên thỏa điều kiện nên pt gồm 2 nghiệm. X = 1 ± 2√2.

ii) phương thức đánh giá bán biểu thức dưới vệt căn (lớn hơn hoặc nhỏ dại hơn 1 hằng số) nhằm giải phương trình cất căn thức.

- Áp dụng cùng với phương trình đựng căn thức dạng: 

*
 (với c,d>0 và c+d=e)

- PT hoàn toàn có thể cho ngay dạng này hoặc tất cả thể tách một hệ số nào đó để sở hữu 2; 2 hay 2;